Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b•cosC=3a•cosB-c•cosB．
（1）求cosB的值；
（2）若△ABC的面积是2

2

，且b=2

2

，求边a与边c的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0求出cosB的值即可；
（2）利用三角形面积公式以及余弦定理列出关系式，将各自的值代入计算列出关于a与c的方程组，求出方程组的解即可得到a与c的值．

解答：解：（1）由题意得：sinB•cosC=3sinA•cosB-sinC•cosB，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=3sinA•cosB（sinA≠0），得：cosB=

1

3

；
（2）由cosB=

1

3

，且B为三角形内角，得：sinB=

2 2

3

，
由面积公式得：

1

2

acsinB=2

2

，即ac=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即8=a²+c²-4，得到a²+c²=12，
联立得：

ac=6 a2+c2=12

，
解得：a=c=

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．