Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界．已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）不是有界函数，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数在区间上的值域，结合题中定义判断即可；

（2）由题意可得，换元，将问题转化为对任意的恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

（1）当时，，

当时，，则，

所以，函数在上的值域为，

故不存在常数，使得成立，

因此，函数在上不是有界函数；

（2）函数在上是以为上界的有界函数，即，

令，则，即，．

由得，

令，则函数在上单调递减，所以；

由得，

令，函数在上单调递增，所以.

所以.

因此，实数的取值范围是.