Question

设数列{b_n}满足bn+2=-bn+1-bn，(n∈N*)，b2=2b1．
（I）若b₃=3，求b₁的值；
（II）求证数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列；
（III）设数列{T_n}满足：Tn+1=Tnbn+1(n∈N*)，且T1=b1=-

1

2

，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜q成立，试求q-p的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由b_n+2=-b_n+1-b_n，知b₃=-b₂-b₁=-3b₁=3，由此能求出b₁．
（Ⅱ）由b_n+2=-b_n+1-b_n，知b_n+3=-b_n+2-b_n+1，故b_n+3=b_n，由此能证明数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列．
（Ⅲ）由T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1，知：当n≥2时T_n=b₁b₂b₃…b_n（*），当n=1时T₁=b₁适合（*）式．故T_n=b₁b₂b₃…b_n（n∈N^*）． 由b1=-

1

2

，b₂=2b₁=-1，b3=-3b1=

3

2

，b_n+3=b_n入手，能够求出求q-p的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵b_n+2=-b_n+1-b_n，
∴b₃=-b₂-b₁=-3b₁=3，
∴b₁=-1．（3分）
（Ⅱ）∵b_n+2=-b_n+1-b_n①
∴b_n+3=-b_n+2-b_n+1②，
②-①得b_n+3=b_n （5分）
∴（b_n+1b_n+2b_n+3+n+1）-（b_nb_n+1b_n+2+n）=b_n+1b_n+2（b_n+3-b_n）+1=1为常数
∴数列{b_nb_n+1b_n+2+n}是等差数列． （7分）
（Ⅲ）∵T_n+1=T_n•b_n+1=T_n-1b_nb_n+1=T_n-2b_n-1b_nb_n+1=…=b₁b₂b₃…b_n+1
当n≥2时T_n=b₁b₂b₃…b_n（*），当n=1时T₁=b₁适合（*）式
∴T_n=b₁b₂b₃…b_n（n∈N^*）． （9分）
∵b1=-

1

2

，b₂=2b₁=-1，b3=-3b1=

3

2

，b_n+3=b_n，
∴T1=b1=-

1

2

，T2=T1b2=

1

2

，
T3=T2b3=

3

4

，T4=T3b4=T3b1=

3

4

T1，
T5=T4b5=T2b3b4b5=T2b1b2b3=

3

4

T2，T6=T5b6=T3b4b5b6=T3b1b2b3=

3

4

T3，
…T_3n+1+T_3n+2+T_3n+3=T_3n-2b_3n-1b_3nb_3n+1+T_3n-1b_3nb_3n+1b_3n+2+T_3nb_3n+1b_3n+2b_3n+3
=T_3n-2b₁b₂b₃+T_3n-1b₁b₂b₃+T_3nb₁b₂b₃=

3

4

(T3n-2+T3n-1+T3n)，
∴数列{T3n-2+T3n-1+T3n}(n∈N*)是等比数列
首项T1+T2+T3=

3

4

且公比q=

3

4

 （11分）
记S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n
①当n=3k（k∈N^*）时，S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）=

3 4 [1-( 3 4 )k]

1- 3 4

=3[1-(

3

4

)k]
∴

3

4

≤Sn＜3； （13分）
②当n=3k-1（k∈N^*）时S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k=3-4•(

3

4

)k
∴0≤S_n＜3； （14分）
③当n=3k-2（k∈N^*）时S_n=（T₁+T₂+T₃）+（T₄+T₅+T₆）…+（T_3k-2+T_3k-1+T_3k）-T_3k-1-T_3k
=3[1-(

3

4

)k]-(b1b2b3)k-1b1b2-(b1b2b3)k=3[1-(

3

4

)k]-

1

2

(

3

4

)k-1-(

3

4

)k=3-

14

3

•(

3

4

)k
∴-

1

2

≤Sn＜3 （15分）
综上得-

1

2

≤Sn＜3则p≤-

1

2

且q≥3，
∴q-p的最小值为

7

2

． （16分）

点评：本题考查数列中某一项的求法，等差数列的证明，探索实数是否存在．有一定的探索性，对数学思维要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．