Question

如图，四棱锥的底面是矩形，，且侧面是正三角形，平面平面，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为45°.若存在，试求的值，若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

见解析.

【解析】（1）根据题目特点建立空间直角坐标系，然后利用数量积等于0证明两向量垂直即证两直线垂直；（2）利用待定系数法设出点的坐标，然后把二面角的问题转化为平面法向量的夹角问题

解：取中点，则由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以为原点，建立空间直角坐标系（如图）.则2分

（Ⅰ）证明：∵

……………………………………………………………………4分

∴，

∴，即.…………………………………6分

（Ⅱ）假设在棱上存在一点，不妨设

，

则点的坐标为，……………………………8分

∴

设是平面的法向量，则

不妨取，则得到平面的一个法向量.………10分

又面的法向量可以是

要使二面角的大小等于45°，

则45°=

可解得，即

故在棱上存在点，当时，使得二面角的大小等于45°. 12分