Question

已知f(x)=

x

，g(x)=x+a(a＞0)，设F(x)=

ag(x)-f(x)

f(x)

（1）当a=4时，求F（x）的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式F（x）＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=4代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式利用基本功不等式求出F（x）的最小值即可；
（2）可设t=

x

，h(t)=a(t+

a

t

)，F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+

a

x

的单调性求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．

解答：解：（1）当a=4时，F(x)═

4x+16- x

x

=4(

x

+

4

x

)-1≥4•2

4

-1=15∴当

x

=

4

x

，即x=4时，F（x）_min=15（4分）
（2）F(x)=

ag(x)-f(x)

f(x)

=

a(x+a)- x

x

=a(

x

+

a

x

)-1，x∈[1，4]（6分）
设t=

x

，则F(x)=a(t+

a

t

)-1，t∈[1，2]，令h(t)=a(t+

a

t

)∵F（x）＞1在x∈[1，4]上恒成立，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2，由函数y=x+

a

x

的单调性知

a ＞2 h(t)min=h(2)＞2

或

1≤ a ≤2 h(t)min=h( a )＞2

或

0＜ a ＜1 h(t)min=h(1)＞2

a＞4 a(2+ a 2 )＞2

或

1≤a≤4 2a a ＞2

或

0＜a＜1 a(1+a)＞2

，解得a＞1（12分）

点评：考查学生基本不等式在最值问题中的应用、利用整体代换的数学思想解决数学问题的能力，以及不等式恒成立的证明方法．