Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱DD₁的中点．
（Ⅰ）判断BD₁和过A，C，E三点的平面的位置关系，并证明你的结论；
（II）求△ACE的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）先说明EO是三角形边AC上的高，进而利用三角形的面积公式计算即可．

解答：解：（Ⅰ）BD₁∥平面ACE．
下面证明：如图所示，连接BD与AC相较于点O，连接EO．
∵DO=OB，DE=ED₁，
∴EO∥BD₁，
∵EO?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（Ⅱ）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∴AC=2

2

，EO=

ED2+DO2

=

12+( 2 )2

=

3

．
∵EA=EC，AO=OC，∴EO⊥AC．
∴S△ACE=

1

2

×AC×EO=

1

2

×2

2

×

3

=

6

．

点评：熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键．