Question

【题目】在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问
（1）在y轴上是否存在点M，满足 ？
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．

Answer 1

【答案】
（1）假设在在y轴上存在点M，满足 ．

因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由 ，可得 ，

显然，此式对任意 恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系 ．

（2）假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．

由（1）可知，y轴上任一点都有 ，所以只要 就可以使得△MAB是等边三角形．

因为

于是 ，解得

故y轴上存在点M使△MAB等边，M坐标为（0， ，0），或（0， ，0）．

【解析】分析：本题主要考查了空间直角坐标系、空间中的点的坐标、空间两点间的距离公式，解决问题的关键是：(1) 首先设在在y轴上存在点M，根据 ．因为M在y轴上，可设M（0，y，0），可得其满足的坐标关系式，根据所得式子说明问题即可；(2) 设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，根据三边长度相等计算求得M点坐标即可.