解:(Ⅰ)当a=1时,
g(x)=f′(x)=x-sinx
g(x)=f′(x)=x-sinx,g′(x)=1-cosx≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以y=g(x)在∈(0,+∞)上是增函数
故g(x)>g(0)=0,即f′(x)>0.
(II)由(I)知,f(x)在[0,1]上单调递增.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,由0<a
1<1得f(0)<f(a
1)<f(1)=-
+cos1<1,故0<a
2<1
又a
2=f(a
1)=
<
,
即当n=1时,0<a2<a1<1
②假设n=k(k≥1)时,有0<a
k+1<a
k<1,则当n=k+1时,有f(0)<f(a
k+1)<f(a
k)<f(1)
即0<a
k+2<a
k+1<f(1)<1
即当n=k+1时命题成立.
由①②知:0<a
n+1<a
n<1对任意正整数都成立.
(III)由
得h(x)=f′(x)=ax-sinx,若y=f(x)是单调增函数,f′(x)=ax-sinx>0恒成立.
①当a≥1时,任意x∈(0,+∞)恒有ax≥x>sinx,此时f′(x)=ax-sinx>0
∴y=f(x)在(0,+∞)是单调增函数.
②当0<a<1时,h′(x)=a-cosx=0得cosx=a,在(0,
)上存在x
0使得cosx
0=a
当x∈(0,x
0)时h′(x)=a-cosx<0,h(x)=f′(x)<f(0)=0这与任意x∈(0,+∞)恒成立矛盾
综上a≥1为所求.
分析:(I)将a=1代入f(x)解析式,利用导数运算法求出f′(x).转化为研究f′(x)恒正,考虑它的单调性以此解决函数值域.
(II)由已知不易作差或作商,可考虑数学归纳法证明.
(III)利用导数与单调性的关系求解,a的取值应使f′(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
点评:本题是函数与不等式、数列,三角的综合性题目.考查函数的求导运算,单调性与导数关系的应用,不等式的证明方法,数学归纳法,三角函数的有界性,分类讨论思想.需要较强的分析解决问题的能力.此题盘整了中学的重要数学知识和思想方法,是难题,也是好题.可细心体会.