Question

【题目】如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角板锯成，设直线的斜率为.

（1）用表示出直线的方程，并求出点的坐标；

（2）求出的取值范围及其所对应的倾斜角的范围；

（3）求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）MN方程为：，，；（2），；（3）

【解析】

（1）先利用点斜式得出直线的方程，再得直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1，分别与直线MN的方程联立即可得出；

（2）

（3）利用三角形的面积计算公式可得S△AMN，通过换元利用导数即可得出其单调性最值，进而得出区间D；

（1）依题意，得MN方程为：，即，

∵AB⊥OB，|AB|＝|OB|＝1，∴直线OA方程为：y＝x ，直线AB方程为：x＝1，

联立 ，得．

联立，得.

（2）由（1）知：，∴k＞1或k≤，且，得k≥，∴．

∵直线的倾斜角，且，∴.

（3）在中，由（2）知：

S△AMN＝＝．

设，设．∵，

∴f（t）在是单调递增．∴当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S△）max＝

当时，，即当1﹣k＝时即k＝时，（S△）min＝，

面积的取值范围.