Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为，的中点.

（1）求证：直线平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，根据线线平行证线面平行，再根据线面平行得面面平行，最后根据面面平行得结果，（2）先根据条件得，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得各面法向量，再根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.

（1）证明：取的中点，连接，，由于，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.又且，

所以四边形是平行四边形.

则，又平面，平面，

所以平面.

所以平面平面.又平面，

所以直线平面

（2）解：令，

由于为中点，则，又侧面底面，交线为，平面，则平面，连接，可知，，两两垂直.以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

令平面的法向量为，

由则令，则.

令平面的法向量为，

由则令，则

由，故二面角的余弦值为.