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    【题目】小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：个黑球2个红球；个红球；恰有1个白球；恰有2个白球；个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.

    （1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；

    （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；

    （3）设顾客抽一次奖小张获利元，求变量的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求的最大值.

    【答案】(1)中一至四等奖分别对应的情况是.(2);(3)194.

    【解析】

    （1）求出一至四等奖的概率，即可写出分别对应的类别；

    （2）顾客摸出的第一个球是红球的条件下，利用条件概率计算公式即可得出他获得二等奖的概率．

    （3）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求出分布列得到期望，即可求a的最大值．

    （1）；，，

    ，

    ∵，

    ∴中一至四等奖分别对应的情况是.

    （2）记事件为顾客摸出的第一个球是红球，事件为顾客获得二等奖，则.

    （3）的取值为，则分布列为

    由题意得，若要不亏本，则，

    解得，即的最大值为194.

    练习册系列答案
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    (1)当时，求函数的值域；

    (2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

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    (I)请将两家公司各一名推销员的日工资 (单位: 元) 分别表示为日销售件数的函数关系式;

    (II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。若记甲公司该推销员的日工资为,乙公司该推销员的日工资为 (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:

    某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

    【答案】(I)见解析； (Ⅱ)见解析.

    【解析】分析：(I)依题意可得甲公司一名推销员的工资与销售件数的关系是一次函数的关系式，而乙公司是分段函数的关系式，由此解得；(Ⅱ)分别根据条形图求得甲、乙公司一名推销员的日工资的分布列，从而可分别求得数学期望，进而可得结论.

    详解：(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资 (单位:元) 与销售件数的关系式为: .

    乙公司一名推销员的日工资 (单位: 元) 与销售件数的关系式为:

    (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得的分布列为

    122

    124

    126

    128

    130

    0.2

    0.4

    0.2

    0.1

    0.1

    记乙公司一名推销员的日工资为 (单位: 元),由条形图可得的分布列为

    120

    128

    144

    160

    0.2

    0.3

    0.4

    0.1

    ∴

    ∴仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司.

    点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

    第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

    第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；

    第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

    第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值

    【题型】解答题
    【结束】
    19

    【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形， 平面， ， ， ， 分别是， 的中点.

    （1）证明： ；

    （2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.

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    A. B. C. D.

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    日 期

    1月10日

    2月10日

    3月10日

    4月10日

    5月10日

    6月10日

    昼夜温差x（°C）

    10

    11

    13

    12

    8

    6

    就诊人数y（个）

    22

    25

    29

    26

    16

    12

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    （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

    （2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；

    （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想?

    参考公式：，

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    【题目】从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布情况，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小长方形的高之比为，最右边一组频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：

    （1）样本量是多少？

    （2）列出频率分布表.

    （3）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比.

    （4）成绩落在哪个范围内的人数最多？

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    【题目】已知圆经过两点，，且圆心在直线：上．

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    （2）设圆与轴相交于、两点，点为圆上不同于、的任意一点，直线、交轴于、点．当点变化时，以为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．

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