Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆的上顶点，，且的面积为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设、是椭圆上的两个动点，，求当的面积取得最大值时，直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据三角形的面积公式，以及等边三角形的性质即可求出b，c，再根据a2＝b2+c2，即可得到．（2）设，，联立方程组根据根与系数的关系，利用MA⊥NA，得到﹣1，即可得出．

（1）由已知可得，的面积为．.

∴.故椭圆的标准方程为.

（2）设，，依题意直线的斜率存在，故设的方程为，

联立得，

∴，即，

且，，

又 ，

.∵是椭圆的上顶点，故，

∵，∴，即，

∴，

∴，，或，

∵直线不过点，∴，直线过定点，

的面积，

令.则，函数，，

∴在单调递减，故.

∴的面积取得最大值时，，直线的方程为.