Question

【题目】已知直线l与椭圆 交于两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 ，向量 =（ax1 ， by1）， =（ax2 ， by2），且 ⊥ ，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知 ，∴ ，∴b2=a2﹣c2=1 ∴椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．
∵ ，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0
① 若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=﹣y2 ，
∵4x1x2+y1y2=0，∴
∵ ，∴
∴S△AOB= =1；
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0
∴x1+x2=﹣ ，x1x2=
∵4x1x2+y1y2=0
∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0
∴r2﹣4﹣ +r2=0
∴2r2=4+k2 ， ∴r2≥2
∴△=16（k2﹣r2+4）＞0
设原点O到直线l的距离为d，则S△AOB= d|AB|= × =
综上可知，△AOB的面积为定值1．
【解析】（Ⅰ）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 ，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．