Question

【题目】如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】试题分析：（1）设AC与BD的交点为O，连接MO可证明平面、平面，从而可得平面平面，进而可得平面；（2）取的中点为，连接，则，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零解方程组求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）设与的交点为，连接.因为，平面，所以平面.

因为是线段的中点，所以是的中位线，所以.

又，所以平面

所以，平面平面.

故平面.

（2）取的中点为，连接，则.

以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.取，则，，，.

所以，.

设平面的法向量，则，即，解得.

可取法向量.

又，则

故直线与平面所成角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.