Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．

（1）若点的坐标为，求点坐标；

（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；

（3）求面积最大时的直线的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明；(3)

【解析】

（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；

（2）设直线l的方程为x＝ty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2＝0；

（3）△AF1B的面积S|F1F2||y1﹣y2|＝|y1﹣y2|．把（2）中的根与系数的关系代入，可得S．设函数f（x）＝9x （x≥1），利用导数可得f（x）＝9x在[1，+∞）上单调递增，得到当t2+1＝1，即t＝0时，9（t2+1）取最小值10．由此可得直线l的方程为x＝1．

（1）因为直线经过点， ，

所以直线的方程为．

由解得或

所以．

（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为．

设，．

由得，

所以， ，

因为，在直线上，所以， ，

所以， ，

从而 ．

因为，

所以．

（3）方法一：的面积 .

由（2）知， ， ，

故

，

设函数．

因为，所以在上单调递增，

所以当，即时，取最小值10．

即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为．

方法二：的面积 ．

由（2）知， ， ，

故

，

因为，所以，

所以，即时，的面积取最大值．

因此，的面积取最大值时，直线的方程为．