Question

【题目】在平面直角坐标系中，己知圆，且圆被直线截得的弦长为2.

（1）求圆的标准方程；

（2）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求切线的方程；

（3）若圆上存在点，由点向圆引一条切线，切点为，且满足，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或；（3）

【解析】

（1）将圆方程整理为标准方程形式，可知，得到圆心坐标和半径；由垂径定理可利用弦长构造出关于的方程，解方程求得，从而得到标准方程；（2）分为直线过原点和不过原点两种情况，分别假设直线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得结果；（3）设，根据且可整理出点轨迹方程为：；根据在圆上，则两圆有公共点，根据圆与圆位置关系的判定可构造不等式，解不等式求得结果.

（1）圆方程可整理为：

圆的圆心坐标为，半径

圆心到直线的距离：

截得的弦长为：，解得：

圆的标准方程为：

（2）①若直线过原点，可假设直线方程为：，即

直线与圆相切 圆心到直线距离，解得：

切线方程为：

②若直线不过原点，可假设直线方程为：，即

圆心到直线距离，解得：或

切线方程为或

综上所述，切线方程为或或

（3）假设

，即

又直线与圆相切，切点为

即：，整理得：

又在圆上 两圆有公共点

，解得：

即的取值范围为：