Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当时，讨论的单调性；

（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由题意，当时，求得，得出函数的单调性，进而求解函数的极值；

（Ⅱ）由，由，得或，分类讨论，即可得到函数的单调区间；

（Ⅲ）由（1）和（2），分当和，分类讨论，分别求得函数的单调性和极值，即可得出相应的结论，进而得到结论.

解：（Ⅰ）当时：，令解得，

又因为当，，函数为减函数；

当，，函数为增函数.

所以，的极小值为.

（Ⅱ）.当时，由，得或.

(ⅰ)若，则.故在上单调递增；

（ⅱ）若，则.故当时，；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

(ⅲ)若，则.故当时，；

当时，.

所以在，单调递增，在单调递减.

（Ⅲ）（1）当时，，令，得.

因为当时，，当时，，

所以此时在区间上有且只有一个零点.

（2）当时：

（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.

（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，

只需讨论的符号：

当时，，在区间上有且只有一个零点；

当时，，函数在区间上无零点.

(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.

综上所述，.