Question

【题目】已知函数在处取得极值．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间上任意两个自变量的值，都有；

（Ⅲ）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）所求的实数a的取值范围是

【解析】

（Ⅰ），依题意，，

即，解得

经检验符合．

（Ⅱ）

当时，，故在区间上为减函数，

∵对于区间上任意两个自变量的值，

都有

（Ⅲ），

∵曲线方程为，∴点不在曲线上，

设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足．

因，故切线的斜率为，

整理得．

∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线，

∴关于的方程有三个实根．

设，则，

由，得或

在上单调递增，在（0,1）上单调递减．

∴函数的极值点为，

∴关于方程有三个实根的充要条件是

，解得

故所求的实数a的取值范围是

请在此输入详解！