Question

【题目】如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为，半径OA为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.

(1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；

(2)当θ为何值时，观光道路最长？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用表示CD的长度的关键是在中正确利用正弦定理；

（2）首先将道路长度表达成的函数关系式，再利用导数方法研究函数的最大值，从而可以求得时，观光道路最长.

(1)在△OCD中，由正弦定理，得

＝＝＝，

所以CD＝sin＝cos θ＋sin θ，OD＝sin θ，

因为OD<OB，即sin θ<1，所以sin θ<，所以0<θ<，

所以CD＝cos θ＋sin θ，θ的取值范围为.

(2)设观光道路长度为L(θ)，

则L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的长

＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ

＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈，

L′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1，

由L′(θ)＝0，得sin＝，

又θ∈，所以θ＝，

列表：

θ
L′(θ)	＋	0	－
L(θ)	增函数	极大值	减函数

所以当θ＝时，L(θ)达到最大值，即当θ＝时，观光道路最长．