Question

【题目】点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，设点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，，两点为曲线上关于原点对称的两点，且（），求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）设出点的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程；

（2）设出直线的方程，利用弦长公式求得，再利用，建立直线与之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.

（1）设动点，则到直线的距离，

由题可知：，即可得，

两边平方整理可得：

故曲线的方程为：.

（2）因为，故两点不可能重合，

则直线的斜率不可能为0，

故可设直线方程为，

联立椭圆方程，

可得，

设两点坐标分别为，

则可得，

则

故可得，

因为，故可得四点共线，

故可得.

不妨设直线方程为，，

联立直线与椭圆方程

可得，

设，

则，即

则，即

则点到直线的距离为：

将代入上式即可得：

，，

故

又根据弦长公式可得：

故四边形面积

，

因为，则，，

故.

故四边形面积的取值范围为.