Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；
（2）令g（x）=f（x）+ （x2﹣a2），若x≥0时，g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0且x＞0时，证明f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=ex﹣2x﹣a，∴f′（0）=1﹣a=1，∴a=0，

∴f′（x）=ex﹣2x，记h（x）=ex﹣2x，∴h′（x）=ex﹣2，令h′（x）=0得x=ln2．

当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，h（x）单减；当ln2＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增，

∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2＞0，

故f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=e﹣1．

（2）解：∵g（x）=ex﹣ （x+a）2，∴g′（x）=ex﹣x﹣a．

令m（x）=ex﹣x﹣a，∴m′（x）=ex﹣1，

当x≥0时，m′（x）≥0，∴m（x）在[0，+∞）上单增，∴m（x）min=m（0）=1﹣a．

（i）当1﹣a≥0即a≤1时，m（x）≥0恒成立，即g′（x）≥0，∴g（x）在[0，+∞）上单增，

∴g（x）min=g（0）=1﹣ ≥0，解得﹣ ≤a≤ ，所以﹣ ≤a≤1．

（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，∵m（x）在[0，+∞）上单增，且m（0）=1﹣a＜0，

当1＜a＜e2﹣2时，m（ln（a+2））=2﹣ln（2+a）＞0，

∴x0∈（0，ln（a+2）），使m（x0）=0，即e =x0+a．

当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单减；

当x∈（x0，ln（a+2））时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单增．

∴g（x）min=g（x0）=e ﹣ （x0+a）2=e ﹣ e =e （1﹣ e ）≥0，

∴e ≤2可得0＜x0≤ln2，由e =x0+a，

∴a=e ﹣x0．

记t（x）=ex﹣x，x∈（0，ln2]，

∴t′（x）=ex﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，

∴t（x）≤t（ln2）=2﹣2ln2，∴1＜a≤2﹣2ln2，

综上，a∈[﹣ ，2﹣ln2]．

（3）证明：f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，

即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1．

∵x＞0，∴等价于 ﹣lnx﹣ ﹣e+1≥0．

令h（x）= ﹣lnx﹣ ﹣e+1，

则h′（x）= ．

∵x＞0，∴ex﹣1＞0．

当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单减；

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单增．

∴h（x）在x=1处有极小值，即最小值，

∴h（x）≥h（1）=e﹣1﹣e+1=0，

∴a=0且x＞0时，不等式f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1成立．

【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得a，设h（x）=ex﹣2x，求出导数和单调区间，以及最小值，可得f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值；（2）求得g（x）的导数，令m（x）=ex﹣x﹣a，求出单调区间和最值，讨论（i）当1﹣a≥0即a≤1时，（ii）当1﹣a＜0即a＞1时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到a的范围；（3）f（x）﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1等价于ex﹣x2﹣ex≥xlnx﹣x2﹣x+1，即ex﹣ex≥xlnx﹣x+1．等价于 ﹣lnx﹣ ﹣e+1≥0．令h（x）= ﹣lnx﹣ ﹣e+1，求出导数和单调区间，可得最小值，即可得到证明．