Question

【题目】已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，于点，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取中点为，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量之间夹角的余弦值，从而求得二面角夹角的余弦值.

（1）证明：∵，，∴是中点，

取中点，连，，如下图所示：

则在菱形中，，//

∵，//，∴，//，

∴四边形为平行四边形，∴//，

又，//，∴四边形为平行四边形，

∴//，∴//，

又平面，平面，

∴//平面.即证.

（2）以为原点，以分别为建立如图所示的空间的直角坐标系.

因为已知该四棱柱为直四棱柱，，，

所以为等边三角形.

因为，所以点是的中点.

故点，，，，

，，.

设平面的法向量为，，.

由得

取，得，，

故.

∵，，，

∴，∴是平面的法向量，

设平面和平面所成锐角为，

则.

即平面和平面所成锐角的余弦值为.