Question

【题目】求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；

(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过M(2， )．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可以求得c，再由椭圆定义可知2a，即得椭圆方程；

（2）根据题意先求得焦点坐标，再设方程为所求椭圆的标准方程为 (a＞b＞0)，将题中点代入，根据b2＝a2－c2可得椭圆方程.

试题解析：

(1)∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5.

∴b2＝a2－c2＝144.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)法一：由9x2＋5y2＝45，

得＋＝1，c2＝9－5＝4，

所以其焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)．

设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由点M(2，)在椭圆上，所以MF1＋MF2＝2a，

即2a＝＋＝4，

所以a＝2，

又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：由法一知，椭圆9x2＋5y2＝45的焦点坐标为F1(0,2)，F2(0，－2)，

则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，

将M(2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，

解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.