Question

【题目】边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.

（1）求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）

（2）用一平行于的平面去截这个圆柱，若该截面把圆柱侧面积分成两部分，求与该截面的距离；

（3）求线段，绕着旋转所形成的几何体的表面积.

Answer 1

【答案】(1) 二面角的大小为.

(2) 与该截面的距离为.

(3)表面积为.

【解析】

(1)先作出二面角的平面角，结合余弦定理即可计算；

(2)由圆柱的侧面积等于周长高，可知截面将圆柱分为等高的两部分，即可将问题转化为截面与圆的交线将圆周分成两部分，即可求得弦心距，根据直线与平面平行，则线面的距离即为直线上任意点到平面的距离，进一步求解即可；

(3)先分析旋转体的形状，即可求解.

(1)取中点，连接,过点作交圆于点,连接,如图因为长为，长为，所以 所以为等边三角形，则,故为二面角的平面角，,,由余弦定理可得，,故二面角的大小为.

(2)设截面与圆的交点为,截面把圆柱侧面积分成两部分等价于劣弧的长是优弧的倍，所以劣弧对应的圆心角为，圆心到弦的距离为，因为截面平行于，所以与该截面的距离等价于圆心到弦的距离，故与该截面的距离为.

(3)根据题意可知，线段绕着旋转所形成的几何体为如图所示的圆锥，其中,所以该几何体的表面积为.