Question

【题目】已知椭圆：，点是椭圆内且在轴上的一个动点，过点的直线与椭圆交于，两点（在第一象限），且.

（Ⅰ）若点为椭圆的下顶点，求点的坐标；

（Ⅱ）当（为坐标原点）的面积最大时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知的纵坐标，代入椭圆的方程，解得得到点坐标，从而直线的方程，求得点的坐标；

（Ⅱ）设直线的方程为，联立方程组，求得，从而，列出的表达式，利用基本不等式，即可求解的值，得到点的坐标．

试题解析：

（Ⅰ）由题易知，由知的纵坐标为，

代入椭圆的方程得，解得（负值舍去），即此时.

从而直线的方程为，令，得，即此时.

（Ⅱ）设，，由，知.

易知直线与轴不垂直且斜率不为0，设直线的方程为，联立，

消去可得 ，∴，.

∵，∴，，

∴，从而.

∴ .

∵在第一象限，∴ ，∴.

∵，∴.

∴ ，当且仅当时取等号，此时.

即此时.