Question

【题目】已知圆 ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）直线交圆于，两点，当为的中点时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

试题本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的标准方程和几何性质等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力. 第一问，设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，先利用半径长得出|OM|＋|MN|＝2，再利用中位线转化边，得|AB|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4，得到椭圆的定义，从而得到a，b，c的值，写出椭圆的方程；第二问，利用OB⊥CD，利用向量垂直的充要条件，得到坐标关系，再结合椭圆方程，可解出，从而得到直线AB的斜率，得到直线AB的方程.

试题解析：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则

|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A，

连AB，故|AB|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4．

所以点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆．

其中，a＝2，，b＝1，则

曲线Γ的方程为． 5分

（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，

则．设B(x0，y0)，

则． 7分

又解得，．

则kOB＝，kAB＝ ， 10分

则直线AB的方程为，即

或． 12分