Question

对n∈N*，不等式组

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面区域为D_n，D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列．（x₁，y₁）（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁，且n≥2时an=

y

2 n

(

1

y 2 1

+

1

y 2 2

+…+

1

y 2 n-1

)．证明当n≥2时，

an+1

(n+1)

-

an

n2

=

1

n2

；

Answer 1

分析：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，x=1．故D_n内的整点都落在直线x=1上，且y≤n，故D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为（1，1），（1，2），…，（1，n），故x_n=1，y_n=n．
（2）证明：当n≥2时，由an= yn2 (

1

y12

+

1

y22

+…+

1

yn-12

)，，得

an

yn2

=

1

y12

+

1

y22

 +…+

1

yn-12

，再由错位相减法可知当n≥2时，

an+1

(n+1)

-

an

n2

=

1

n2

．

解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，∵x＞0，且x∈N^*，∴x=1．
故D_n内的整点都落在直线x=1上，且y≤n，
故D_n内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为（1，1），（1，2），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n．

（2）证明：当n≥2时，
由an= yn2 (

1

y12

+

1

y22

+…+

1

yn-12

)，
得

an

yn2

=

1

y12

+

1

y22

 +…+

1

yn-12

，
即

an

n2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

(n-1)2

  …①
∴

an+1

(n+1)2

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

  …②
②式减①式，得

an+1

(n+1)2

-

an

n2

=

1

n2

．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意公式的灵活运用．