Question

【题目】已知函数f (x)＝xlnx－x．

（1）设g(x)＝f (x)＋|x－a|，a∈R．e为自然对数的底数．

①当时，判断函数g(x)零点的个数；

②时，求函数g(x)的最小值．

（2）设0＜m＜n＜1，求证：

Answer 1

【答案】（1）① g(x)有且仅有两个零点．②a－e．（2）证明见解析

【解析】

（1）将代入g(x)＝f (x)＋|x－a|，化简得g(x)＝xlnx＋，再根据导数正负判断在极值点处函数值的正负，结合极值点两侧值加以论证即可，可取验证求解

（2）由于参数的不确定性，需根据将参数分成a≤，a≥e，＜a＜e三段进行讨论，进一步判断函数的单调区间

（3）可先构造函数h(x)＝，求得h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，因0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，从而有，再设φ(x)＝，x＞0 ，通过导数来验证φ(x)增减性，进一步通过增减性求得最值，即可求证不等式成立

解：（1）①当时， g(x)＝xlnx－x＋|x＋|＝xlnx＋，

g′(x)＝1＋lnx，

当0＜x＜时，g′(x)＜0；当x＞时，g′(x)＞0；

因此g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，

又，g()＝－＋＜0，g(1)＝＞0，

所以g(x)有且仅有两个零点．

②（i）当a≤时，g (x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

因为x∈[，e]，g′(x)＝1＋lnx≥0恒成立，

所以g(x)在[，e]上单调递增，所以此时g(x)的最小值为g()＝－－a．

（ii）当a≥e时，g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

因为x∈[，e]，g′(x)＝lnx－1≤0恒成立，

所以g(x)在[，e]上单调递减，所以此时g(x)的最小值为g(e)＝a－e．

（iii）当＜a＜e时，

若≤x≤a，则g(x)＝xlnx－x＋a－x＝xlnx－2x＋a，

若a≤x≤e，则g(x)＝xlnx－x＋x－a＝xlnx－a，

由（i），（ii）知g(x)在[，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，

所以此时g(x)的最小值为g(a)＝alna－a，

综上有：当a≤时，g(x)的最小值为－－a；

当＜a＜e时，g(x)的最小值为alna－a；

当a≥e时，g(x)的最小值为a－e．

（2）设h(x)＝，

则当x∈(0，1)时，h′(x)＝＞0，于是h(x)在(0，1)单调递增，

又0＜m＜n＜1，所以h(m)＜h(n)，

从而有

设φ(x)＝，x＞0

则φ′(x)＝

因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，

因为0＜n＜1，所以φ(n)＜φ(1)＝0，即lnn－1＋＜0，

因此

即原不等式得证．