Question

【题目】对于无穷数列的某一项，若存在，有成立，则称具有性质.

（1）设，若对任意的，都具有性质，求的最小值；

（2）设等差数列的首项，公差为，前项和为，若对任意的数列中的项都具有性质，求实数的取值范围；

（3）设数列的首项，当时，存在满足，且此数列中恰有一项不具有性质，求此数列的前项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）时，最大值为；或时，最小值为.

【解析】

（1）计算得出、、，求得每种情况下对应的最小值，进而可得出结果；

（2）求得，根据题意得出对任意的恒成立，可得出，由此可得出的取值范围；

（3）根据题意得出，根据存在满足，得出、、、依次为：、、、、，进一步得知：欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，分别计算出两种情况下数列的前项和，根据表达式可求得前项和分别取最大值或最小值时对应的值.

（1）经计算知：，此时；，此时；

当时，，此时.

综上可知，，即对任意的，都具有性质时，的最小值为；

（2）由已知可得，，若对任意的，数列中的都具有性质，则对任意的恒成立，

即，整理得：.

因为，则，所以.

因此，实数的取值范围是；

（3）对于，，

因为、、、都具有性质，所以，

而当时，存在满足，

所以、、、依次为：、、、、，

由已知不具有性质，故的可能值为、、、，

又因为、、、都具有性质，所以，

欲使此数列的前项和最大，、、、依次为：、、、，

欲使此数列的前项和最小，、、、依次为：、、、，

下面分别计算前项和：，

当时，此数列的前项和最大，最大值为；

.

当且仅当时，即时等号成立，但，

这时取或时，此数列的前项和最小，最小值为.