Question

【题目】已知椭圆：，、分别为椭圆长轴的左、右端点，为直线上异于点的任意一点，连接交椭圆于点.

（1）若，求直线的方程；

（2）是否存在轴上的定点使得以为直径的圆恒过与的交点？如果存在，请求出定点的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）存在，.

【解析】

（1）根据，可得，利用坐标计算，可得点，代入椭圆方程，然后可得，最后可得直线的斜率并得方程.

（2）假设直线的方程，然后分别与，联立，可得，然后假设点的坐标，根据，可得结果.

解：（1）设，.

，

， .

整理得 ， 即.

代入椭圆方程解得：

，.

故直线的方程为或.

（2）方法一：

由题可知：直线的斜率存在

设直线的方程为，，

由得.

由得.

.

假设存在定点满足要求，则.

，.

，整理得.

存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒过与的交点.

方法二：

假设存在定点满足要求，设，

则由以为直径的圆通过与的交点得

①

设 整理得

，

，

，整理得 . ②

将②代入①，有，，解得.

存在轴上的定点，使得以为直径的圆恒过与的交点