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    【题目】已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点分别作倾斜角为的直线，且之间的距离为1．

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若直线与椭圆只有一个公共点，求点到直线的距离之积．

    【答案】（1） （2）1

    【解析】

    （1）由已知求出，即得解；

    （2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离之积为1；当直线的斜率存在时，设其方程为，联立直线和椭圆方程得到，求出，

    ，即得解.

    （1）设，由之间的距离为1，得，所以

    由椭圆的离心率为，得，所以，

    所以椭圆的标准方程为．

    （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，点到直线的距离之积为1；

    当直线的斜率存在时，设其方程为，

    联立及，消去得，

    因为直线与椭圆只有一个公共点，所以，得

    点到直线的距离，

    点到直线的距离，

    所以，

    综上可得，若直线与椭圆只有一个公共点，则点到直线的距离之积为1．

    练习册系列答案
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    【题目】下表是某原料在市场上从2013年至2019年这7年中每年的平均价格（单位：千元/吨）数据：

    年份

    2013

    2014

    2015

    2016

    2017

    2018

    2019

    年份代号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    平均价格

    （单位：千元/吨）

    （1）从表中数据可认为和线性相关性较强，求出以为解释变量为预报变量的线性回归方程（系数精确到）；

    （2）以（1）的结论为依据，预测2032年该原料价格.预估该原料价格在哪一年突破1万元/吨？

    参考数据：，，，

    参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

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    【题目】设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为， 在轴负半轴上有一点，且

    （1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；

    （2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

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    【题目】某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例，以下四个选项错误的是（ ）

    A.54周岁以上参保人数最少B.18～29周岁人群参保总费用最少

    C.丁险种更受参保人青睐D.30周岁以上的人群约占参保人群的80%

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    【题目】已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.

    若，，求直线的方程；

    若，点为准线上任意一点，求证：直线，，的斜率成等差数列.

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    【题目】若数列满足，且存在常数，使得对任意的都有，则称数列为“k控数列”．

    （1）若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；

    （2）已知公比为的等比数列的前n项和为，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．

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    【题目】设数列的前项和为，且.

    （1）求证：数列为等比数列；

    （2）设数列的前项和为，求证： 为定值；

    （3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

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    【题目】绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：，， ，得到如图所示的频率分布直方图：

    （1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）．

    （2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？

    水果达人

    非水果达人

    合计

    男

    10

    女

    30

    合计

    （3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．

    附：参考公式和数据：，.临界值表：

    2.072

    2.706

    3.841

    6.635

    7.879

    0.150

    0.100

    0.050

    0.010

    0.005

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