Question

已知直角的三边长，满足

（1）在之间插入2011个数，使这2013个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为，求的最小值；

（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；

（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.

 

Answer 1

【答案】

（1）最小值为； （2） 2、3、4.

（3）证明：由成等比数列，.

由于为直角三角形的三边长，证明数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 证得，

故对于任意的都有是正整数.

【解析】

试题分析：（1）是等差数列，∴，即. 2分

所以，的最小值为； 4分

（2） 设的公差为，则 5分

设三角形的三边长为，面积，，

. 7分

由得，

当时，，

经检验当时，，当时， 9分

综上所述，满足不等式的所有的值为2、3、4. 10分

（3）证明：因为成等比数列，.

由于为直角三角形的三边长，知，， 11分

又，得，

于是

.… 12分

，则有.

故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 14分

因为 ，

， 15分

由，同理可得，

故对于任意的都有是正整数. 16分

考点：本题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，构成直角三角形的条件。

点评：难题，本题综合性较强，涉及等差数列、等比数列、不等式及构成直角三角形的条件。对法则是自点变形能力要求高，易出错。