Question

设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面 α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）

A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个

Answer 1

【答案】分析：若要使截面四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形，我们只要证明A₁B₁∥C₁D₁，同时A₁D₁∥B₁C₁即可，根据已知中侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，根据面面平行的性质定理，我们易得结论．
解答：证明：由侧面PAD与侧面PBC相交，侧面PAB与侧面PCD相交，
设两组相交平面的交线分别为m，n，
由m，n决定的平面为β，
作α与β且与四条侧棱相交，
交点分别为A₁，B₁，C₁，D₁
则由面面平行的性质定理得：
A₁B₁∥m∥D₁C₁，A₁D₁∥n∥B₁C₁，
从而得截面必为平行四边形．
由于平面α可以上下移动，则这样的平面α有无数多个．
故选D．
点评：本小题主要考查棱锥的结构特征、面面平行的性质定理等基础知识，考查了转化思想，属于基础题．