Question

【题目】如图，某城市有一块半径为40的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设.

（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；

（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.

Answer 1

【答案】（1）S＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）

【解析】

试题分析：（1）由两部分组成，一是扇形区域，由扇形面积公式得＝800x，二是三角形区域，由三角形面积公式得·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．最后根据角的实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，最后列表分析极值点，确定最值点

试题解析：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．

…………………… 4分

从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

（2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．

由 S′(x)＝0，解得x＝．

从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时， S′(x)＜0 ．

因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．

所以 当x＝，S(x)取得最大值．

答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大