Question

【题目】对于元集合，若元集合满足，且．则称是集合的一种“等和划分”（与算是同一种划分）．试确定集合共有多少种等和划分?

Answer 1

【答案】29

【解析】

解法1：不妨设．由于当集合确定后，集合便唯一确定，故只须考虑集合的个数．

设为最大数．由，知．于是，．故中有奇数个奇数．

（1）若中有五个奇数，因中的六个奇数之和为36，而，所以，．此时，得到唯一的．

（2）若中有三个奇数、两个偶数，用表示中这两个偶数之和，表示中这三个奇数之和，则．于是，．共得的24种情形．

①当时，，可搭配成的3种情形；

②当时，，可搭配成的3种情形；

③当时，，可搭配成的6种情形；

④当时，，可搭配成的6种情形；

⑤当时，，可搭配成的4种情形；

⑥当时，，可搭配成的1种情形；

⑦当时，，可搭配成的1种情形；

（3）若中有一个奇数、四个偶数，由于中除12外，其余的五个偶数和为，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使中五数之和为27，分别得到的4种情形．综上，集合有种情形．即有29种等和划分．

解法2：元素交换法．

显然，，恒设．

（1）首先注意极端情况的一种分划：

．

显然，数组与中，若有一组数全在中，则另一组数必全在中．

以下考虑10、11两个数至少一个不在中的情况．

为此，考虑中个数相同且和数相等的元素交换．

（2）；

；

；

．

共得到8种对换．

（3）；

；

；

；

．

共得到9种对换．

（4）；

；

；

；

．

共得到11种对换．

每种对换都得到一种新的划分．因此，总共得种等和划分．