Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)

【解析】

（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.

（1）f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣a）

当a≤0时，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当0＜a≤1时，令f'（x）＝0得x＝0或x＝lna．

（i） 当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（ii） 当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；

当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；

当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．

（2）由（I）知f'（x）＝xex﹣ax

当x∈（0，+∞）时，y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；

即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；

即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；

记 g（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），

∴g'（x）＝ex﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝ex﹣2a；

（i） 当时，h'（x）＝ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，

∴g'（x）＞g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；

∴g（x）＞g（0）＝0，符合题意；

（ii）当时，令h'（x）＝0得x＝ln（2a）；

∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，

∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；

∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）＝0；

∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，

∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）＝0，不符合题意；

综上可得a的取值范围是．