Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若平面平面，且直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中点，连结，,则,由线面垂直的判定定理可得,平面,由线面垂直的性质即可得证;

（Ⅱ）由平面平面及可得,，从而,设,则,易证 两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图,利用法向量求出二面角的余弦值即可.

（Ⅰ）

证明:如图:取中点，连结，，

，，

，，为正三角形，

，，

由线面垂直的判定定理知,平面，

又平面，．

（Ⅱ）因为，所以为等边三角形,

所以，因为平面平面,

由面面垂直的性质知,平面,

所以即为直线与平面所成角,

即，即，

设，则，，

由平面知,两两互相垂直，

建立空间直角坐标系如图所示:

则，0，，，，0，，

所以，，，，0，，

设平面的一个法向量为，

则，令,则,

所以平面的一个法向量为，

因为平面的法向量为，0，，

所以，

二面角的平面角为钝角，

二面角的余弦值为．