Question

【题目】已知直线与抛物线交于不同的两点，为抛物线的焦点，为坐标原点，是的重心，直线恒过点.

（1）若，求直线斜率的取值范围；

（2）若是半椭圆上的动点，直线与抛物线交于不同的两点，.当时，求△面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设，，，联立方程解得，，计算得到答案.

（2）计算得到，，设，，求得最大值，设，求导得最小值得到答案.

（1）设，，，

直线与抛物线联立：，

所以，，

由，得直线斜率，

因为，所以.

（2）直线斜率，由得.

设直线（其中），，，，

直线与抛物线联立：.

所以，

设为点到直线的距离，的面积记为.

由题知，故令，.

，当时，取最大值.

，设，

则.

时，，单调递减；时，单调递增.

所以，即时，取最小值.

所以面积的取值范围是.