Question

【题目】已知函数（其中为常数，为自然对数的底数，）

（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值集合，

（2）已知正数满足：存在，使不等式成立.

①求的取值集合；

②试比较与的大小，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，由题意知，可知，进而可求得实数的值；

（2）①由题意可知，存在使得不等式成立，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值集合；

②构造函数，其中，利用导数判断函数在区间上的单调性，可得出与的大小关系，进而可得出与的大小关系.

（1），则且，

由于对任意，不等式恒成立，即，.

当时，对任意，，此时，函数在上为增函数，无最小值，不合乎题意；

当时，令，得.

若，则；若，则.

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，所以，，因此，；

（2）①由题意知，存在使得不等式，则，

构造函数，其中，则，

对任意的恒成立，

所以，函数在区间上单调递增，则，.

因此，实数的取值集合为；

②构造函数，其中，则，

所以，函数在区间上单调递减.

当时，则；

当时，则，即，即，则.

综上所述，当时，则；当时，.