Question

【题目】已知椭圆上任一点到，的距离之和为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，设直线不经过点,与交于，两点，若直线的斜率与直线的斜率之和为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点，证明见解析

【解析】

(1)根据椭圆的定义可得,,a=2,则b2=a2﹣c2=2,即可求得椭圆方程;

(2)设直线l的方程,代入椭圆方程,根据韦达定理及直线的斜率公式化简可得m=﹣2k﹣4,再根据直线的点斜式方程,即可判断直线l恒过定点(2,﹣4).

(1)由椭圆定义知,,,

所以,

所以椭圆的标准方程为;

(2)直线l恒过定点(2,﹣4),理由如下:

若直线斜率不存在,则,不合题意.

故可设直线方程:,

联立方程组,代入消元并整理得:,

则,.

,将直线方程代入,

整理得:,

即,

韦达定理代入上式化简得:,

因为不过点,所以,

所以,即,

所以直线方程为,即,

所以直线过定点.