Question

（本小题满分12分）  已知椭圆的左、右焦点分别是F₁（－c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足

点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，

点T在线段F₂Q上，并且满足  

（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；

   （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程； （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）略（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.

（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以 ……3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

      由椭圆第二定义得，即

       由，所以…3分

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为          当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是……7分

解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

       当|时，由，得.

       又，所以T为线段F₂Q的中点. 设点Q的坐标为（），则

       因此    ①由得    ②

       将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分

③ ④

   （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

        

       由③得，由④得  所以，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是

③ ④

        

       由④得  上式代入③得

       于是，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.………………………11分

       当时，记，

       由知，所以…………14分