Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直．

（1）求证：BC∥平面ADE；

（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

（1）过点B作BM⊥AE于M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，证明BC∥MN即可；
（2）以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系Exyz，求出平面CEB的法向量，平面AEB的法向量，计算即可．

（1）过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，如图所示；

∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，

∴BM⊥平面ADE，CN⊥ADE，
∴BM∥CN；
由题意知Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BM＝CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴BC∥MN；
又BC平面ADE，MN平面ADE，
∴BC∥平面ADE；
（2）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示；

则E（0，0，0），B（0，，），C（，0，），
，
设平面CEB的法向量为＝（x，y，z），
则，
即，
令y＝1，则z＝1，x＝1，
∴＝（1，1，1）；
设平面AEB的法向量为＝（x，y，z），

则，易求得＝（1，0，0），
又，

二面角ABEC的平面角的余弦值为．