Question

【题目】如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图），为中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根据面面垂直的性质定理，证得平面.

（2）作出直线与平面所成的角，解三角形求得线面角的正弦值.

（3）设是靠近的四等分点，是靠近的四等分点，通过证明平面平面，证得平面，并由此求得的值.

（1）由于，是的中点，所以，由于平面平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知平面，所以是直线与平面所成的角..在三角形中，，由余弦定理得.在中，，所以.所以.

（3）存在，且是靠近的四等分点.

设是靠近的四等分点，是靠近的四等分点，连接.

由于，所以四边形是平行四边形，所以，

由于平面，平面，所以平面；

由于，所以，由于平面，平面，所以平面；

由于，根据面面平行的判定定理可知，平面平面，所以平面.

故存在是靠近的四等分点，使平面，且.