Question

【题目】已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为.

（1）证明：直线过定点：

（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程.

Answer 1

【答案】(1)见详解；(2) 或.

【解析】

（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.

（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，最后求出圆的方程.

(1)证明：设,,则。又因为，所以.则切线DA的斜率为，故，整理得.设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立。所以直线恒过定点.

(2)由(1)得直线方程为，和抛物线方程联立得：

化简得.于是,设为线段的中点，则

由于，而,与向量平行，所以，

解得或.

当时，，所求圆的方程为;

当时，或，所求圆的方程为.

所以圆的方程为或.