Question

【题目】如图，已知点为抛物线，点为焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.

（1）求的值及抛物线的标准方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），.

【解析】

(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；

(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.

(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.

(2)设，

设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：

，故：，

，

设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：

，，

令可得：，则.即，

由斜率公式可得：，

直线AC的方程为：，

令可得：，

故，

且，

由于，代入上式可得：，

由可得，则，

则

.

当且仅当，即，时等号成立.

此时，，则点G的坐标为.