Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，，，，平面.

（Ⅰ）设为线段的中点，求证：//平面；

（Ⅱ）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）思路一：先证明直线所在平面与平面平行，再根据面面平行的定义说明直线与平面平行.取中点，连接，易证平面与平面平行，从而问题得证；思路二：利用线面平行的判定定理来证明，取中点，连接，易证四边形为平行四边形，则∥，从而问题可得证.（Ⅱ）根据题意，利用“坐标法”来解决，建立适当的空间直角坐标系，通过向量数量积的坐标运算，从而可得解.

试题解析：（Ⅰ）证明：设线段的中点为，连接，. 在△中，为中位线，故.

又平面，平面，所以平面.

在底面直角梯形中，，且，故四边形为平行四边形，

即.又平面，平面，所以平面.

又因为平面，平面，且，所以平面平面.又平面，

所以有平面.

（Ⅱ）如图所示，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.

设，则，，，.

，，，，

设是平面的法向量，则，即，

可取，同理，设是平面的法向量，则，可取，

从而.