Question

【题目】如图1，已知四边形为直角梯形，，，且，为的中点，将沿折到位置（如图2），使得平面，连结，构成一个四棱锥．

（1）求证；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题（1）可利用分析法寻找思路：由于，所以要证，只需证明平面，因此只需证，这可根据条件平面得到；（2）求二面角大小，一般方法为利用空间向量数量积求解，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，利用向量数量积可求法向量的夹角，最后根据法向量夹角与二面角之间关系得结果.

试题解析：（1）证明：在图1中，∵，，

∴为平行四边形，∴，

∵，∴．

当沿折起时，，，即，，

又，∴平面，而平面，∴．

（2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，,

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

设平面的一个法向量为

则，取，得，

设二面角的大小为，观察图形可知，二面角为钝角，

则，∴，

∴二面角的大小为．