Question

若函数y=f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N^*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f（x）是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（　　）
①y=2x+1；
②y=log₂x；
③y=2^x+1；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：利用新定义，进行验证即可得出结论．

解答：解：①y=2x+1，n∈N^*，是等差源函数；
②∵log₂1，log₂2，log₂4构成等差数列，∴y=log₂x是等差源函数；
③y=2^x+1不是等差源函数，因为若是，则2（2^p+1）=（2^m+1）+（2ⁿ+1），则2^p+1=2^m+2ⁿ，
∴2^p+1-n=2^m-n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2^x+1不是等差源函数；
④y=sin（

π

4

x+

π

4

）是周期函数，显然是等差源函数．
故选：C．

点评：本题考查等差源函数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．