Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.

（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.

（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；

（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.

（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.

点为椭圆的右顶点时，的坐标为，

即，

，

化简得：，

即，解得或（舍去），

所以；

（2）椭圆的方程为，

由（1）可得，

联立得：，

设B的横坐标，根据韦达定理，

即，，

所以，

同理可得

若存在使得成立，

则，

化简得：，，此方程无解，

所以不存在使得成立.