Question

【题目】在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点.

【解析】

（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明.

（Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案.

（Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案.

（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.

平面.

（Ⅱ）平面，四边形为正方形.

所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，

则，，，，

设平面法向量为，则，

连结，可得，又所以，平面，

平面的法向量，

设二面角的平面角为，则.

（Ⅲ）线段上存在点使得，设，

，，，

所以点为线段的中点.